La volatilidad en los modelos para la valoración de opciones: Un análisis comparativo entre Black-Scholes-Merton, Heston y difusión con saltos de Merton

Esta disertación presenta un análisis comparativo entre los modelos Black-Scholes-Merton, Heston y Difusión con saltos de Merton orientado a evaluar su capacidad para reproducir los precios de mercado de opciones call europeas y a examinar cómo cada formulación incorpora y explica la dinámica de la...

Full description

Autores:: Navarro Durán, Francisco Antonio

Tipo de recurso:: Trabajo de grado de pregrado

Fecha de publicación:: 2025

Institución:: Universidad Autónoma de Bucaramanga - UNAB

Repositorio:: Repositorio UNAB

Idioma:: spa

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description	Esta disertación presenta un análisis comparativo entre los modelos Black-Scholes-Merton, Heston y Difusión con saltos de Merton orientado a evaluar su capacidad para reproducir los precios de mercado de opciones call europeas y a examinar cómo cada formulación incorpora y explica la dinámica de la volatilidad. A partir de la derivación teórica de sus ecuaciones diferenciales estocásticas y sus respectivas soluciones cerradas, los modelos se implementan mediante calibraciones sobre datos reales con el fin de evaluar su ajuste y capacidad para capturar fenómenos característicos del comportamiento de los mercados, como la correlación negativa entre precio y volatilidad, la tendencia de reversión a la media y los saltos aleatorios. Los resultados demuestran que, si bien Black-Scholes-Merton funciona como referencia en entornos estables, los modelos de volatilidad estocástica y de difusión-salto reproducen con mayor precisión la variabilidad de los mercados; además, la pertinencia de cada modelo depende de la dinámica propia del activo subyacente, lo que evidencia que ninguna formulación resulta capaz de adaptarse a todos los contextos y que la elección debe responder a las características específicas tanto del activo como del mercado analizado.
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A partir de la derivación teórica de sus ecuaciones diferenciales estocásticas y sus respectivas soluciones cerradas, los modelos se implementan mediante calibraciones sobre datos reales con el fin de evaluar su ajuste y capacidad para capturar fenómenos característicos del comportamiento de los mercados, como la correlación negativa entre precio y volatilidad, la tendencia de reversión a la media y los saltos aleatorios. Los resultados demuestran que, si bien Black-Scholes-Merton funciona como referencia en entornos estables, los modelos de volatilidad estocástica y de difusión-salto reproducen con mayor precisión la variabilidad de los mercados; además, la pertinencia de cada modelo depende de la dinámica propia del activo subyacente, lo que evidencia que ninguna formulación resulta capaz de adaptarse a todos los contextos y que la elección debe responder a las características específicas tanto del activo como del mercado analizado.Introducción ............................................................................................................................... 6 Objetivos .................................................................................................................................... 8 Objetivo general ..................................................................................................................... 8 Objetivos específicos ............................................................................................................. 8 1. La volatilidad: la variable esencial para la valoración de opciones ......................................... 9 1.1. Volatilidad histórica .........................................................................................................10 1.2. Volatilidad estocástica ....................................................................................................12 1.3. Volatilidad con saltos ......................................................................................................15 2. Modelos para la valoración de opciones ...............................................................................17 2.1. Modelo Black-Scholes-Merton ........................................................................................18 2.1.1. Proceso de difusión ...........................................................................................20 2.1.2. Movimiento Browniano Geométrico ...................................................................22 2.1.3. Discretización de las ecuaciones del modelo BSM ............................................25 2.2. Modelo de Heston ..........................................................................................................26 2.2.1. La volatilidad como un proceso estocástico .......................................................26 2.2.2. Solución semianalítica y función característica ..................................................28 2.2.3. Discretización de las ecuaciones del modelo de Heston ....................................31 2.2.4. Los parámetros del modelo de Heston ...............................................................33 2.3. Modelo de Difusión con saltos de Merton .......................................................................35 2.3.1. Proceso de saltos ..............................................................................................38 2.3.2. Proceso de Poisson Compuesto ........................................................................39 2.3.3. Discretización de las ecuaciones del modelo de Merton ....................................41 2.3.4. Truncamiento mediante cuantiles de Poisson ....................................................43 2.3.5. Los parámetros del modelo de Merton ...............................................................44 3. Implementación computacional de los modelos ....................................................................46 3.1. Preparación de los datos ................................................................................................47 3.1.1. Estimación de la estructura temporal de tasas de interés: NSS .........................49 3.1.2. Estructura temporal de tasas de interés: asignación discreta .............................51 3.2. Implementación del modelo de Heston ...........................................................................52 3.2.1. NDX como subyacente del modelo ....................................................................52 3.2.2. Calibración del modelo de Heston .....................................................................54 3.3. Implementación del modelo de Merton ...........................................................................55 3.3.1. BKX como subyacente del modelo ....................................................................55 3.3.2. Calibración del modelo de Merton ......................................................................56 3.4. Implementación del modelo BSM ...................................................................................57 3.4.1. UTY como subyacente del modelo .....................................................................57 3.4.2. ¿Por qué no es necesario calibrar el modelo BSM? ...........................................58 3.5. Programación de algoritmos y rutinas numéricas ...........................................................58 Resultados y análisis comparativo ............................................................................................63 Resultados BSM ...................................................................................................................64 Resultados Heston ................................................................................................................66 Resultados Merton ................................................................................................................68 Análisis comparativo .............................................................................................................71 Conclusiones ............................................................................................................................75 Recomendaciones ....................................................................................................................78 Bibliografía ................................................................................................................................79 Anexos ......................................................................................................................................82PregradoThis dissertation presents a comparative analysis between the Black-Scholes-Merton, Heston and Merton Jump-Diffusion models aimed at assessing their ability to reproduce the market prices of European call options and to examine how each formulation incorporates and explains volatility dynamics. Based on the theoretical derivation of their stochastic differential equations and their respective closed-form solutions, the models are implemented through calibrations on real data in order to evaluate their fit and ability to capture characteristic phenomena of market behavior, such as the negative correlation between price and volatility, mean reversion and random jumps. The results show that, although Black-Scholes-Merton serves as a useful benchmark in stable environments, stochastic volatility and jump-diffusion models more accurately reproduce market variability. Furthermore, the relevance of each model depends on the dynamics of the underlying asset, which shows that no single formulation is capable of adapting to all contexts and that the choice must respond to the specific characteristics of both the asset and the market analyzed.Modalidad Presencialapplication/pdfspahttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.5/co/Abierto (Texto Completo)Atribución-NoComercial-SinDerivadas 2.5 Colombiahttp://purl.org/coar/access_right/c_abf2La volatilidad en los modelos para la valoración de opciones: Un análisis comparativo entre Black-Scholes-Merton, Heston y difusión con saltos de MertonVolatility in option pricing models: A comparative analysis between Black-Scholes-Merton, Heston and Merton’s Jump-DiffusionIngeniero financieroUniversidad Autónoma de Bucaramanga UNABFacultad Ciencias Económicas, Administrativas y ContablesPregrado Ingeniería FinancieraIFI-1773info:eu-repo/semantics/bachelorThesisTrabajo de Gradohttp://purl.org/coar/resource_type/c_7a1fhttp://purl.org/redcol/resource_type/TPhttp://purl.org/coar/version/c_b1a7d7d4d402bcceOption pricingStochastic volatilityJump-diffusion modelModel calibrationComputational financeFinanceCapital asset valuation modelsFinancial mathematicsInvestments (Mathematics)Finance (Mathematical models)BookkeepingFinanzasModelos de valoración de activos de capitalMatemáticas financierasInversiones (Matemáticas)Finanzas (Modelos matemáticos)Teneduría de librosValoración de opcionesVolatilidad estocásticaModelo de difusión-saltoCalibración de modelosFinanzas computacionalesKończal, J. (2025). Pricing options on the cryptocurrency futures contracts. arXiv.Agazzotti, G., Aglieri Rinella, C., Aguilar, J.-P., & Kirkby, J. L. (2025). Calibration and Option Pricing with Stochastic Volatility and Double Exponential Jumps. Journal of Computational and Applied Mathematics, 465, 116563.Neely, C. J., Cole, A., Bouamara, N., Boudt, K., & Laurent, S. (2025). What causes “jumps” in stock prices? St. Louis Fed On the Economy.Laidley, C. (2025). Bank stocks tumble as tariffs raise recession risks.Gupta, A. (2024). A Comprehensive Study of Stock Market Volatility: Types, Determinants, and Measurement Methods. International Journal for Multidisciplinary Research.Polanitzer, R. (2023). Nelson-Siegel-Svensson in Python; Estimating the Spot Rate Curve using the Nelson-Siegel-Svensson.Guan, E. (2023). Magic of Log Returns: Concept – Part 1. AllQuant.Polanitzer, R. (2022). Option Skew - Part 10: Jump-Diffusion Models. Medium.Hull, J. (2022). Options, futures and other derivatives (11th ed.). Pearson.Pironneau, O. (2019). Calibration of Heston Model with Keras.Wang, X., He, X., Bao, Y. & Zhao, Y. (2018). Parameter estimates of Heston stochastic volatility model with MLE and consistent EKF algorithm. Science China Information Sciences.Dunn, R., Hauser, P., Seibold, T. & Gong, H. (2015). Estimating option prices with Heston’s stochastic volatility model.Pishro-Nik, H. (2014). Introduction to probability, statistics and random processes. Kappa Research.Rouah, F. (2013). The Heston model and its extensions in Matlab and C#. John Wiley & Sons.Ye, Z. (2013). The Black Scholes and Heston Models for Option Pricing. UWSpace.Ibe, O. (2013). Markov Processes for Stochastic Modeling (2nd ed.). Elsevier.Todorov, V. & Tauchen, G. (2011). Volatility jumps. Journal of Business & Economic Statistics.Macias, G. (2009). Volatilidad, modelos de medición. Opciones, Vol. 3. Universidad Autónoma de Bucaramanga.Carr, P. & Mayo, A. 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Option valuation using the fast Fourier transform. Journal of Computational Finance.López, R. (1996). Cálculo de Probabilidades e Inferencia Estadística con tópicos de econometría.Svensson, L. (1994). Estimating and Interpreting Forward Interest Rates: Sweden 1992-1994.Heston, S. (1993). A closed-form solution for options with stochastic volatility with applications to bond and currency options. The Review of Financial Studies.Merton, R. (1976). Option Pricing When underlying stock returns are discontinuous, Journal of Financial Economics.Black, F. & Scholes, M. (1973). The Pricing of Options and Corporate Liabilities. Journal of Political Economy.Siegrist, K. (s.f.). Compound Poisson processes. Random Services.U.S. Department of the Treasury. (s.f.). Daily Treasury Rate Archives: 2013.Corporate Finance Institute. (s. f.). 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La volatilidad en los modelos para la valoración de opciones: Un análisis comparativo entre Black-Scholes-Merton, Heston y difusión con saltos de Merton

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