Semidefinite optimization over the space of polynomial norms and its invariant subspaces
Información complementaria del Formato de Identificación Trabajo de Grado
- Autores:
-
Moreno Ferreira, Elvira
- Tipo de recurso:
- Trabajo de grado de pregrado
- Fecha de publicación:
- 2018
- Institución:
- Universidad de los Andes
- Repositorio:
- Séneca: repositorio Uniandes
- Idioma:
- eng
- OAI Identifier:
- oai:repositorio.uniandes.edu.co:1992/39291
- Acceso en línea:
- http://hdl.handle.net/1992/39291
- Palabra clave:
- Teoría de los grupos
Funciones convexas
Simetría (Matemáticas)
Matemáticas
- Rights
- openAccess
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We also show that polynomial norms can be characterized completely by imposing conditions on the convexity and positivity of the forms they're derived from. These characterizations allow us to optimize over the set of polynomial norms with semidefinite programs. The fact that any norm can be approximated with arbitrary precision by a polynomial norm, along with the ability to optimize with SDPs over the set of polynomial norms, give rise to a great variety of applications, some of which are discussed thoroughly in the second chapter. In light of the results on polynomial norms by Ahmadi, Hall and Klerk, presented in the second chapter of this thesis, it is relevant to pose the question: Given a norm on Rn that is invariant under the action of a finite group G, is it possible to approximate it with arbitrary precision by a G-invariant polynomial norm? As one of the main results disclosed in this thesis, the previous question is answered affirmatively in the third chapter. Moreover, with the purpose of further understanding the set of invariant polynomial norms, we explore recent results by P. Parillo and K.Gatterman on semidefinite programs with discrete symmetries. Based on our constructed knowledge on polynomial norms and the methodologies discussed by Parillo and Gatterman, we are able to provide a semidefinite programming-based hierarchy for optimizing over the set of polynomial norms that are invariant under the action of a certain finite group G"El documento de proyecto de grado se divide en tres secciones principales. El primer capítulo contiene preliminares sobre optimización semidefinida, teoría de representaciones de grupos finitos y normas sobre Rn. En el segundo capítulo, se presentan los resultados del artículo Polynomial Norms de A. Ahmadi, E. de Klerk y G. Hall, e incluye algunas implementaciones computacionales que evidencian la utilidad de los teoremas considerados. En esta parte del trabajo se estudia el espacio de normas sobre Rn, haciendo énfasis en el subconjunto de normas polinomiales (aquellas de la forma f1/d, donde f es un polinomio homogéneo de grado d en n variables). Las normas de este tipo se pueden entender fácilmente por medio de caracterizaciones asociadas a la convexidad y positividad de las formas de donde provienen, lo cual permite optimizar sobre el conjunto de normas polinomiales con programas SOS y SDP. Además, cualquier norma sobre Rn se puede aproximar por medio de una norma polinomial. Estas características dan origen a una cantidad importante de aplicaciones, algunas de las cuales se presentan en el trabajo. Por último, en el tercer capítulo se describen los problemas de optimización semidefinida invariantes bajo la acción de grupos finitos y se presentan resultados nuevos que relacionan la presencia de simetrías en problemas de optimización con el artículo de normas polinomiales. En particular, estos resultados responden afirmativamente a la siguiente pregunta: ¿Es posible aproximar normas invariantes bajo la acción de un grupo, por medio de polinomios que respeten las mismas simetrías?"--Tomado del Formato de Documento de GradoMatemáticoPregrado54 hojasapplication/pdfengUniversidad de los AndesMatemáticasFacultad de CienciasDepartamento de Matemáticasinstname:Universidad de los Andesreponame:Repositorio Institucional SénecaSemidefinite optimization over the space of polynomial norms and its invariant subspacesTrabajo de grado - Pregradoinfo:eu-repo/semantics/bachelorThesishttp://purl.org/coar/resource_type/c_7a1fhttp://purl.org/coar/version/c_970fb48d4fbd8a85Texthttp://purl.org/redcol/resource_type/TPTeoría de los gruposFunciones convexasSimetría (Matemáticas)MatemáticasPublicationTEXTu821198.pdf.txtu821198.pdf.txtExtracted texttext/plain82732https://repositorio.uniandes.edu.co/bitstreams/69452c64-31c7-4eaf-8571-e422ef2efa84/downloadcf773847ab60d0f18fa2566b1348e293MD54THUMBNAILu821198.pdf.jpgu821198.pdf.jpgIM Thumbnailimage/jpeg4963https://repositorio.uniandes.edu.co/bitstreams/e9b89e86-7900-449c-a40e-40736b749939/downloadb34e8b584fb8d57cb1f2cc053b2c7aeaMD55ORIGINALu821198.pdfapplication/pdf1603892https://repositorio.uniandes.edu.co/bitstreams/170b5166-3570-4d65-8cd8-6c144402b53a/download286b2db788f490b88226dfb9c3e2b75bMD511992/39291oai:repositorio.uniandes.edu.co:1992/392912023-10-10 18:42:16.946http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/open.accesshttps://repositorio.uniandes.edu.coRepositorio institucional Sénecaadminrepositorio@uniandes.edu.co |