Análisis numérico de un método de Galerkin para un problema evolutivo no lineal

El presente trabajo se centra en el desarrollo y análisis de un método numérico basado en el enfoque de Galerkin, aplicado a problemas evolutivos no lineales. Estos problemas surgen en diversos campos científicos, como la biología, la física y la ingeniería, y presentan desafíos significativos tanto...

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Autores:
Muñoz López, Juan Alberto
Tipo de recurso:
Trabajo de grado de pregrado
Fecha de publicación:
2024
Institución:
Universidad de Córdoba
Repositorio:
Repositorio Institucional Unicórdoba
Idioma:
spa
OAI Identifier:
oai:repositorio.unicordoba.edu.co:ucordoba/8849
Acceso en línea:
https://repositorio.unicordoba.edu.co/handle/ucordoba/8849
https://repositorio.unicordoba.edu.co
Palabra clave:
Método de Galerkin
Espacios de Sobolev
Ecuaciones evolutivas no lineales
Ecuación de Fisher-KPP
Análisis numérico
Elementos finitos
Lema de Gronwall
Estabilidad temporal
Estimación de error
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description El presente trabajo se centra en el desarrollo y análisis de un método numérico basado en el enfoque de Galerkin, aplicado a problemas evolutivos no lineales. Estos problemas surgen en diversos campos científicos, como la biología, la física y la ingeniería, y presentan desafíos significativos tanto desde el punto de vista teórico como computacional. En primer lugar, se introducen conceptos preliminares sobre los espacios de Sobolev, además fundamentales para el análisis del método. Posteriormente, se plantea un problema evolutivo no lineal como caso de estudio, explorando tanto su formulación como su solución numérica mediante el método de Galerkin en el contexto de los elementos finitos. Por último, se presentan dos ejemplos de aplicación que validan el uso del método de los elementos finitos para resolver problemas evolutivos no lineales, destacando su precisión y utilidad en escenarios prácticos
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spelling Reales Martínez, Carlos Albertof34810a4-13b2-481e-b87c-28061d14f5fd-1Muñoz López, Juan Albertoff0e6c55-9bc2-47dc-98a9-f647af4d5063-1Arenas Tawil, Abraham Joséeaeb1de2-1df2-4b8e-a54d-48d738259b3a-1Silgado Ballesta, Albertha04cb118-f2a0-4d60-96fb-b7a415abd104-12024-12-20T13:06:12Z2024-12-20T13:06:12Z2024-12-18https://repositorio.unicordoba.edu.co/handle/ucordoba/8849Universidad de CórdobaRepositorio Universidad de Córdobahttps://repositorio.unicordoba.edu.coEl presente trabajo se centra en el desarrollo y análisis de un método numérico basado en el enfoque de Galerkin, aplicado a problemas evolutivos no lineales. Estos problemas surgen en diversos campos científicos, como la biología, la física y la ingeniería, y presentan desafíos significativos tanto desde el punto de vista teórico como computacional. En primer lugar, se introducen conceptos preliminares sobre los espacios de Sobolev, además fundamentales para el análisis del método. Posteriormente, se plantea un problema evolutivo no lineal como caso de estudio, explorando tanto su formulación como su solución numérica mediante el método de Galerkin en el contexto de los elementos finitos. Por último, se presentan dos ejemplos de aplicación que validan el uso del método de los elementos finitos para resolver problemas evolutivos no lineales, destacando su precisión y utilidad en escenarios prácticosThe present work focuses on the development and analysis of a numerical method based on the Galerkin approach, applied to nonlinear evolutionary problems. These problems arise in various scientific fields, such as biology, physics and engineering, and present significant challenges from both theoretical and computational points of view. First, preliminary concepts of Sobolev spaces are introduced and important results such as the Aubin-Nitsche argument and Gronwall’s Lemma, which are fundamental for the analysis of the method, are discussed. Subsequently, a nonlinear evolutionary problem is posed as a case study, exploring both its formulation and its numerical solution by means of Galerkin’s method in the context of finite elements. Finally, two application examples are presented that validate the use of the finite element method to solve nonlinear evolutionary problems, highlighting its accuracy and usefulness in practical scenarios.Declaración de Autoría VIResumen VIIAgradecimientos IX1. Preliminares 51.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Espacios de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. Argumento de Aubin-Nitsche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Estimación del error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4. Lema de Gronwall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5. Discretización de dominio y espacio de elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . 112. Un Problema No Lineal 142.1. Esquema completamente discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.1.1. Esquema de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.1.2. Euler linealizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293. Ejemplos Numéricos 323.1. Problema con lado derecho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.2. Análisis de un Problema Evolutivo No Lineal: ecuación de Fisher-KPP . . . . . . . . 364. Conclusiones y trabajos futuros 394.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2. Trabajos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Bibliografía 41Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42PregradoMatemático(a)Monografíasapplication/pdfspaUniversidad de CordobaFacultad de Ciencias BásicasMontería, Córdoba, ColombiaMatemáticaCopyright Universidad de Córdoba, 2024https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/Atribución-NoComercial-SinDerivadas 4.0 Internacional (CC BY-NC-ND 4.0)info:eu-repo/semantics/openAccesshttp://purl.org/coar/access_right/c_abf2Análisis numérico de un método de Galerkin para un problema evolutivo no linealTrabajo de grado - Pregradoinfo:eu-repo/semantics/bachelorThesishttp://purl.org/coar/resource_type/c_7a1finfo:eu-repo/semantics/acceptedVersionText[1] M. S. Alnaes et al. «The FEniCS Project Version 1.5». En: Archive of Numerical Software 3 (2015).[2] M. S. Alnaes et al. «Unified Form Language: A domain-specific language for weak formulations of partial differential equations». En: ACM Transactions on Mathematical Software 40 (2014).[3] Susanne C. Brenner y L. Ridgway Scott. The Mathematical Theory of Finite Element Methods. Springer, New York, 2008.[4] Philippe G. Ciarlet. The Finite Element Method for Elliptic Problems. SIAM, 2002.[5] Jim Douglas Jr. y Todd Dupont. «Galerkin Methods for Parabolic Equations». En: SIAM Journal on Numerical Analysis 7.4 (1970), págs. 575-626.[6] N. Kopell y L. N. Howard. «Plane Wave Solutions to Reaction-Diffusion Equations». En: Studies in Applied Mathematics 52.4 (), págs. 291-328.[7] A. Logg, K.-A. Mardal, G. N. Wells et al. Automated Solution of Differential Equations by the Finite Element Method. Springer, 2012.[8] «Nonlinear Diffusion-Reaction Phenomena». En: Nonlinear Partial Differential Equations for Scientists and Engineers. 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Princeton University Press, 1957. isbn: 9780691079721. url: http://www.jstor.org/stable/j.ctt183q1bm.Método de GalerkinEspacios de SobolevEcuaciones evolutivas no linealesEcuación de Fisher-KPPAnálisis numéricoElementos finitosLema de GronwallEstabilidad temporalEstimación de errorGalerkin methodSobolev spacesNonlinear evolutionary equationsFisher-KPP equationNumerical analysisFinite elementsGronwall’s LemmaTime stabilityError estimationPublicationLICENSElicense.txtlicense.txttext/plain; charset=utf-815543https://repositorio.unicordoba.edu.co/bitstreams/b5f9b018-2974-43ec-a00b-b48eb30768fe/download73a5432e0b76442b22b026844140d683MD51ORIGINALmuñozlopezjuanalberto.pdfmuñozlopezjuanalberto.pdfapplication/pdf1490347https://repositorio.unicordoba.edu.co/bitstreams/6d121bc4-7341-4ef3-81c9-dc5559ce17fd/download64b34618cc1b423784c942ab6ecb4841MD52formato de autorización.pdfformato de 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