Representación de enteros como imágenes de polinomios de la forma $x^k+y^{\ell}$ en $\mathbb Z_n$
Para un polinomio $f(x_1,\ldots, x_t)$ y un entero positivo $n$, definimos el conjunto $A_n$ formado por los enteros $a\in \{0,\ldots, n-1\}$ para los cuales la congruencia $f(x_1,\ldots, x_t)\equiv a\ ({\rm mod }\ n)$ tiene solución. Definimos $\alpha(n)$ como el cardinal de $A_n$ y resulta que $\a...
- Autores:
-
Cuadrado Chica, Mary Alejandra
- Tipo de recurso:
- Fecha de publicación:
- 2024
- Institución:
- Universidad de Córdoba
- Repositorio:
- Repositorio Institucional Unicórdoba
- Idioma:
- spa
- OAI Identifier:
- oai:repositorio.unicordoba.edu.co:ucordoba/9112
- Acceso en línea:
- https://repositorio.unicordoba.edu.co/handle/ucordoba/9112
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- Palabra clave:
- Representación modular
Familias multiplicativas
Polinomios admisibles
Congruencias admisibles
Propiedad del Levantamiento
Modular representation
Multiplicative families
Admissible polynomials
Admissible congruences
Lifting property
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- openAccess
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- Copyright Universidad de Córdoba, 2025
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Para un polinomio $f(x_1,\ldots, x_t)$ y un entero positivo $n$, definimos el conjunto $A_n$ formado por los enteros $a\in \{0,\ldots, n-1\}$ para los cuales la congruencia $f(x_1,\ldots, x_t)\equiv a\ ({\rm mod }\ n)$ tiene solución. Definimos $\alpha(n)$ como el cardinal de $A_n$ y resulta que $\alpha(n)$ es una función multiplicativa, por lo que el problema de calcular $\alpha(n)$ se reduce a encontrar $\alpha(p^k)$, donde $p$ es un número primo y $1\leq k\leq n$. En este trabajo desarrollamos un método para calcular $\alpha(p^k)$ para la función asociada a un tipo especial de polinomios que llamamos \textit{polinomios admisibles}. Luego aplicamos este método a polinomios de la forma $x^k+y^{\ell}$, para calcular de manera explícita la función $\alpha$. |
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S. Anaya, \emph{Conteo de enteros representables como sumas de potencias k-ésimas módulo $n$}, trabajo de grado, Repositorio Universidad de Córdoba, 2022. S. Anaya, F. Arias, and J. Borja, \emph{Counting Integers Representable as Sums of k-th Powers Modulo $n$}, J. Integer seq. \textbf{26} (2023), \href{https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL26/Borja/borja4.pdf}{Article 23.8.1} F. Arias, J. Borja, and L. Rubio, \emph{Counting integers representable as images of polynomials modulo $n$}, J. Integer Seq. \textbf{22} (2019), \href{https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL22/Borja/borja3.pdf}{Article 19.6.7} T. Apostol, \emph{Introduction to analytic number theory}, Springer-Verlag, New York, 1976. R. Burns, \emph{ Representing numbers as the sum of squares and power in the ring $\mathbb Z_n$}, arXiv: 1708.03939v2, 2017, \url{https://arxiv.org/abs/1708.03930} D. M. Burton, \emph{Elementary number theory}, 7th ed, McGraw- Hill, 2011. J. Harrington, L. Jones, and A. Lamarche, \emph{Representing integers as the sum of two squares in the ring $\mathbb Z_n$}, J. Integer Seq., \textbf{17} (2014), \href{https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL17/Jones/jones14.pdf}{Article 14.7.4} K. Ireland, M. Rosen, \emph{A classical introduction to modern number theory}, Springer-Verlag, New York, 1990. J-R. Joly. \emph{Equation at varietés algébriques sur un corps fini}, Enseign. Math. 19 (2) (1973) 1-117, \url{https://www.e-periodica.ch/digbib/view?pid=ens-001%3A1973%3A19%3A%3A134#125} |
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En este trabajo desarrollamos un método para calcular $\alpha(p^k)$ para la función asociada a un tipo especial de polinomios que llamamos \textit{polinomios admisibles}. Luego aplicamos este método a polinomios de la forma $x^k+y^{\ell}$, para calcular de manera explícita la función $\alpha$.For a polynomial f(x1, . . . , xt) and a positive integer n, the set An is defined as the collection of integers a ∈ {0, . . . , n − 1} for which the congruence f(x1, . . . , xt) ≡ a (mod´ n) is satisfied by some solution. The cardinality of An is denoted by α(n), and it is found that α(p k ) is a multiplicative function. Thus, the computation of α(n) is reduced to the determination of α(p k ), where p is a prime number and 1 ≤ k ≤ n. In this work, a method is developed to compute α(p n ) for a special class of polynomials, referred to as admissible polynomials. This method is then applied to polynomials of the form x k + y ℓ to explicitly compute the function α.Preliminares La función multiplicativa asociada a un polinomioFamilia multiplicativa asociada a un polinomioPolinomios admisibles y propiedad del LevantamientoSobre los N-conjuntosCálculo de $\alpha(n)$Polinomios de la forma $x^k+y^{\ell}$Exponentes y N-conjuntosEjemplosCondiciones necesarias para que un entero sea suma de un cuadrado y una cuarta potenciaMaestríaMagíster en MatemáticasTrabajos de Investigación y/o Extensiónapplication/pdfspaUniversidad de CórdobaFacultad de Ciencias BásicasMontería, Córdoba, ColombiaMaestría en MatemáticasCopyright Universidad de Córdoba, 2025https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/Atribución-NoComercial-SinDerivadas 4.0 Internacional (CC BY-NC-ND 4.0)info:eu-repo/semantics/openAccesshttp://purl.org/coar/access_right/c_abf2Representación de enteros como imágenes de polinomios de la forma $x^k+y^{\ell}$ en $\mathbb Z_n$Trabajo de grado - Maestríainfo:eu-repo/semantics/masterThesisinfo:eu-repo/semantics/acceptedVersionTexthttp://purl.org/redcol/resource_type/TMS. Anaya, \emph{Conteo de enteros representables como sumas de potencias k-ésimas módulo $n$}, trabajo de grado, Repositorio Universidad de Córdoba, 2022.S. Anaya, F. Arias, and J. Borja, \emph{Counting Integers Representable as Sums of k-th Powers Modulo $n$}, J. Integer seq. \textbf{26} (2023), \href{https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL26/Borja/borja4.pdf}{Article 23.8.1}F. Arias, J. Borja, and L. Rubio, \emph{Counting integers representable as images of polynomials modulo $n$}, J. Integer Seq. \textbf{22} (2019), \href{https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL22/Borja/borja3.pdf}{Article 19.6.7}T. Apostol, \emph{Introduction to analytic number theory}, Springer-Verlag, New York, 1976.R. Burns, \emph{ Representing numbers as the sum of squares and power in the ring $\mathbb Z_n$}, arXiv: 1708.03939v2, 2017, \url{https://arxiv.org/abs/1708.03930}D. M. Burton, \emph{Elementary number theory}, 7th ed, McGraw- Hill, 2011.J. Harrington, L. Jones, and A. 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