Conjetura de kneser y aplicaciones de la topología algebraica a combinatoria (2013)
La conjetura de Martin Kneser y, posteriormente, la prueba de la misma por László Lovász, fueron acaso los mayores incentivos para prestar seria atención a las aplicaciones de la topología (en particular, la algebraica) en combinatoria. Desde un punto de vista combinatorio, si consideramos la familia de todos los k-subconjuntos de un conjunto de n elementos, podemos particionar tal familia en n-2k+2 clases C1[unión]. . .[unión]Cn-2k+2 tales que ninguna pareja de k-subconjuntos dentro de una misma clase es disyunta. La conjetura de Kneser afrmaba que no era posible particionar la familia en n-2k+1 clases y que tuvieran la misma propiedad anterior. Veinte años después de haber sido formulada László Lovász probó la conjetura usando el teorema de Borsuk-Ulam. El objetivo fundamental del presente texto es mostrar al menos dos pruebas de la conjetura, una la dio Imre Bárány en 1978 y, la otra, Joshua Greene, a principios del siglo XXI. Asimismo, veremos que ambas demostraciones usan fuertemente el conocido teorema de Borsuk-Ulam; por ello, esbozaremos una prueba del mismo. Por último, expondremos algunas de las herramientas topológicas desarrolladas posteriormente a la prueba de la conjetura de Kneser y que han permitido entender y dilucidar cuestiones combinatorias, como por qué el grafo K3,3 no es planar: veremos el índice de espacios con acciones de Z2, productos borrados, "joins" borrados y su aplicación al teorema de no encajamiento de complejos simpliciales.