Acciones de grupos amenables en álgebras de probabilidad. Una perspectiva de lógica continua en la teoría ergódica (2024)
Un problema general en la teoría de modelos es el de clasificar distintos modelos de una teoría. Un ejemplo es la siguiente pregunta: Dados dos modelos de una teoría tales que cada uno se sumerge elementalmente en el otro, ¿deben necesariamente ser isomorfos? Las teorías que tienen esta propiedad, llamada la propiedad de Schröder-Bernstein, suelen tener modelos fáciles de clasificar. Por ejemplo, los espacios vectoriales sobre un cuerpo fijo son fáciles de clasificar, pues su clase de isomorfía solo depende de su dimensión: esto implican que tienen la propiedad SB. Por otra parte, los órdenes lineales densos sin extremos son difíciles de clasificar, y esto corresponden con el hecho que no tienen la propiedad SB. Una consecuencia del Teorema de Maharam es que la teoría APr de las álgebras de probabilidad sin átomos tiene la propiedad SB. Ya sabiendo cómo se clasifican los modelos de APr, esto motiva la pregunta de clasificar los modelos de sus expansiones. Un problema central de la teoría ergódica es clasificar los automorfismos de un espacio de probabilidad sin átomos, es decir, las transformaciones invertibles $T:(X,\mu)\rightarrow(X,\mu)$ que preservan la medida. Este problema fue trabajado por varios matemáticos, como Vladimir Rokhlin en la Unión Soviética y Paul Halmos en los Estados Unidos. Cada automorfimso T en $(X,\mu)$ induce un automorfismo $\tau$ en su álgebra de probabilidad $(A,\mu)$. De particular interés son los automorfismos aperiódicos, aquellos en los que casi ningún elemento tiene órbita finita. En esta familia vale el Lema de Rokhlin: si T es una transformación aperiódica en un espacio de probabilidad sin átomos $(X,\mu)$, para todo n natural positivo y todo $\varepsilon$ positivo existe un subconjunto medible E tal que $E,T^{-1}(E),\dots,T^{-(n-1)}(E)$ son disjuntos y $\mu\left(\bigcup_{i=0}^{n-1}T^{i}(E)\right)>1-\varepsilon.$ Este resultado nos permite axiomatizar la teoría APr_A de las estructuras $(A,\mu,\tau)$ correspondientes con automorfismos aperiódicos. Surge la siguiente pregunta ¿Tiene APr_A la propiedad Schröder-Bernstein? Esta pregunta fue trabajada en la teoría ergódica, alejada del contexto de la lógica. En 1988, el matemático polaco Mariusz Lema\'nczyk demostró que que APr_A no tiene la propiedad SB. Sin embargo, Nicolás Cuervo demostró en 2023, usando el Lema de Rokhlin, que APr_A tiene la propiedad SB aproximada, es decir que para cada par de modelos bi-sumergibles $(A,\mu,\tau)$ y $(B,\nu,\sigma)$ de APr_A existe una sucesión $(\upsilon_n)_n$ de isomorfismos de $(A,\mu)\to(B,\nu)$ tales que $\upsilon_n\tau\upsilon_n^{-1}\rightarrow\sigma$. Todo modelo $(A,\mu,\tau)$ corresponde con una acción de $\ZZ$, el grupo aditivo de los enteros, en $(A,\mu)$: la acción corresponde con el homomorfismo $\ZZ\rightarrow\Aut(A,\mu)$ dado por $n\mapsto\tau^n$. Una generalización posible es cambiar a $\ZZ$ por otros grupos contables. Si G es un grupo contable, podemos considerar los modelos de la forma $(A,\mu,\tau_g)_{g\in G}$, donde $(A,\mu)\models APr$ y la asignación $g\mapsto\tau_g$ es un homomorfismo de grupos $G\to\Aut(A,\mu)$. Cuando sea posible, denotamos por APr_G a la teoría de los modelos correspondientes con acciones libres en un espacio de probabilidad, es decir, tales que $\mu\{x\ \vert\ g\cdot x=x\}=0$ para todo $g$ en $G$ distinto a la identidad. Nuevamente nos preguntamos: ¿Para qué grupos G tiene APr_G la propiedad Schröder-Bernstein aproximada? Una clase de grupos bien comportadas en este contexto son los grupos amenables: un grupo G es amenable si admite una sucesión de Følner, es decir, un sucesión $(F_n)_n$ de subconjuntos finitos de G tales que $\vert gF_n\vartriangle F_n\vert/\vert F_n\vert\to0$ para todo g en G. Estos grupos generalizan a $\ZZ$, donde $(\{1,2,\dots,n\})_n$ es una sucesión de Følner. Las acciones libres de grupos amenables en espacios de probabilidad sin átomos ha sido estudiadas extensamente por matemáticos como Donald Samuel Ornstein y Benjamin Weiss. En esta familia de grupos, vale el una versión del Lema de Rokhlin. En este texto mostrtamos una familia amplia de grupos amenables G tales que APr_G tiene la propiedad SB aproximada.