Comparación entre esquemas explícitos fuertes para solucionar ecuaciones diferenciales estocásticas (2022)
Los modelos matemáticos son usados para describir comportamientos en distintas ramas de la ciencia, de la economía y de la ingeniería, entre otras aplicaciones. En muchas de éstas existen fluctuaciones aleatorias que se generan dentro de la dinámica del sistema y suelen existir relaciones entre el valor de una variable y sus tasas de cambio, que se expresan como una ecuación diferencial. Lo anterior destaca la importancia de modelar y solucionar ecuaciones diferenciales con componentes estocásticos. Tanto para las ecuaciones diferenciales determinísticas como las estocásticas no existen herramientas suficientes para obtener soluciones analíticas de los problemas complejos que se suelen modelar, por lo cual es necesario recurrir a métodos numéricos de aproximación. El objetivo del trabajo es comparar distintos esquemas numéricos existentes que aproximan las soluciones de ecuaciones diferenciales estocásticas, particularmente los esquemas de Euler-Maruyama y Milstein. El proyecto desarrolla el movimiento Browniano y el cálculo de Ito, que son conceptos fundamentales para formular y solucionar ecuaciones diferenciales estocásticas, así como para demostrar los órdenes de convergencia de los métodos. Con estos conceptos, se demuestra que el esquema de Euler-Maruyama tiene orden de convergencia 0.5 y el de Milstein tiene orden 1.0. Finalmente, el documento presenta simulaciones computacionales para evidenciar la naturaleza de los procesos estocásticos estudiados y el funcionamiento de los esquemas numéricos que los aproximan.