Sobre campos con derivadas genéricas (2024)
Ritt introdujo la teoría de campos diferenciales, posteriormente Robinson demostró en su tesis doctoral que esta teoría tiene una modelo completación, la teoría de campos diferencialmente cerrados, y unos años después Blum dio un esquema simple de axiomas para esta modelo completación, el cual dice que soluciones algebraicas a sistemas de ecuaciones de polinomios diferenciales implican una solución diferencial. Varias de las propiedades algebraicas de los campos diferenciales y diferencialmente cerrados fueron estudiadas por Kolchin (precisamente la topología de Kolchin es el análogo de la topología de Zariski para campos diferenciales). Siguiendo esta misma línea de trabajo Marker estudió y recopiló varias de dichas propiedades algebraicas de los campos diferencialmente cerrados, al igual que propiedades modelo teóricas de estos como lo son la eliminación de cuantificadores, completitud, modelo completitud, ω-estabilidad, eliminación de imaginarios y rangos. Por otro lado, Pierce y Pillay dieron una axiomatización alternativa de la teoría de campos diferencialmente cerrados trabajando en el marco de la geometría algebraica y dada en términos de variedades, espacios tangentes y torsores, y finalmente McGrail, utilizando conjuntos coherentes de polinomios diferenciales, introdujo los axiomas para la teoría de campos diferencialmente cerrados con finitas derivaciones que conmutan. Por otro lado, podemos considerar derivaciones sobre otros tipos de campos, como pueden ser los campos ordenados. Siguiendo esta otra línea de trabajo, Singer mostró que la teoría de campos diferenciales ordenados tiene una modelo completación, la teoría de campos ordenados diferencialmente cerrados, y dio axiomas para esta teoría, y después Riviere, similar al trabajo realizado por McGraill, dio axiomas para la teoría de campos ordenados diferencialmente cerrados con finitas derivaciones que conmutan. En los trabajos mencionados anteriormente vemos que varios de los campos en los que se ha trabajado pueden ser dotados de una topología interesante, como puede ser la topología de Zariski o la topología del orden en el caso de los campos ordenados. Usando estas ideas topológicas podemos expresar el comportamiento genérico de una derivada como la condición de que dado un sistema de polinomios diferenciales y una solución algebraica regular a este sistema, podemos encontrar una solución diferencial regular tan cerca como queramos a esta solución algebraica. En el trabajo realizado por Cubides y Point se estudia precisamente el comportamiento de teorías de campos topológicos con una derivación genérica y extensiones de estas teorías, en donde los modelos de estas extensiones cumplen que si un sistema de polinomios diferenciales tiene una solución algebraica regular entonces podemos encontrar soluciones diferenciales regulares arbitrariamente cerca de dicha solución algebraica, en donde la noción de cercanía se expresa en términos de los abiertos dados por la topología del campo. Un ejemplo importante es donde la teoría base que se toma es la de campos diferenciales ordenados y su extensión resulta ser la teoría de campos ordenados diferencialmente cerrados. Este trabajo se base en estas ideas, pues queremos estudiar campos diferenciales en los que una solución algebraica regular a un sistema de polinomios diferenciales implica la existencia de una solución diferencial regular tan cerca como se quiera de dicha solución algebraica, en donde la noción de cercanía está dada por abiertos básicos de la topología de Zariski. Note que un campo con la topología de Zariski no es un campo topológico, y este caso no entra dentro del formalismo presentado por Cubides y Point. Mostraremos que los campos diferencialmente cerrados que cumplen esta condición son precisamente los campos diferencialmente cerrados. Además, basados en las ideas de McGraill, daremos una construcción iterativa para la teoría de campos diferencialmente cerrados con m derivaciones que conmutan. Finalmente, durante la realización del proyecto nos topamos con el trabajo realizado por Fornasiero y Terzo, en donde presentan, utilizando las ideas de dimensión algebraica y campos algebraicamente acotadas introducidas por Van Den Dries, las modelo completaciones de teorías completas de campos algebraicamente acotados con una derivación genérica y en donde se muestra que la noción de una derivada genérica se puede expresar usando nociones de dimensión sin utilizar la noción de topología. Es precisamente basados en dicho trabajo de Fornasiero y Terzo que presentamos una axiomatización alternativa de estas modelo completaciones la cual, si bien es muy similar a la dada por estos autores, recupera un poco las ideas más algebraicas de resolver sistemas de polinomios presentes en los trabajos anteriores sobre estas teorías.