Teorema funcional del límite central para martingalas (2019)
Las primeras versiones del Teorema del Límite Central se remontan a las ideas de DeMoivre y Laplace , en donde la sucesión de sumas renormalizadas de variables aleatorias de Bernoulli con varianza acotada y promedio finito convergen en distribución a una variable aleatoria con distribución normal estándar. En el presente trabajo se busca comprender una versión generalizada del Teorema del Límite Central donde la sucesión de sumas renormalizadas de variables aleatorias se sustituyen por martingalas en tiempo continuo, un tipo de procesos estocásticos, con saltos acotados y variación cuadrática lineal en el tiempo. De esta manera al considerar una sucesión de martingalas renormalizadas el lí?mite es un proceso estocástico, un movimiento Browniano, en vez de vectores aleatorias Gaussianos. Siguiendo el articulo de Ward Whitt, para conseguir demostrar el Teorema del Límite Central en este contexto se usará la siguiente estructura. Primero, se introducen las herramientas necesarias para demostrar que toda subsucesión convergente converge en el espacio de funciones continuas y converge al mismo limite (a través de un corolario del Teorema de Prokhorov ). Segundo se caracteriza el límite de la sucesión, o más precisamente de alguna sub-sucesión, es decir se muestra que el limite es un movimiento Browniano. Por otro lado para ilustrar el Teorema del Límite Central para Martingalas se expondrán dos ejemplos de sucesiones de martingalas locales que convergen a un movimiento Browniano, específicamente, se estudiará una sucesión de procesos de Poisson compuestos compensados y una sucesión de caminatas aleatorias.