Teorema de punto fijo de Lefschetz: generalizaciones y aplicaciones (2021)
La tesis presenta los resultados necesarios para entender los teoremas de punto fijo clásicos en topología, algunos resultados de la geometría diferencial que permiten calcular el número de Lefschetz en contextos más generales que el originalmente considerado por Lefschetz, y aplicaciones de los teoremas de punto fijo a contextos como el estudio de la estructura de grupos de Lie compactos. El primer capítulo tiene como objetivos entender el Teorema de punto fijo de Lefschetz como un resultado que identifica invariantes topológicos que garantizan la existencia de puntos fijos en funciones continuas y presentar dos aplicaciones del teorema: el Teorema de punto fijo de Brouwer y la prueba topológica del Teorema fundamental del álgebra. El segundo capítulo establece una forma de calcular el número de Lefschetz en el contexto de la geometría diferencial. La observación fundamental es que los puntos fijos de una función de una variedad M en sí misma corresponden a los puntos de intersección de la gráfica de la función y la diagonal del espacio MxM, de manera que usando la cohomología de de Rham y la dualidad de Poincaré es posible establecer una fórmula integral para el cálculo del número de Lefschetz en términos del dual de Poincaré de la gráfica de la función y de la diagonal. Por último, se muestra que, si la gráfica y la diagonal se intersecan transversalmente, entonces el número de Lefschetz puede ser calculado con el determinante del diferencial de la función en cada punto fijo. En el último capítulo se enuncia el Teorema de Atiyah-Bott, una generalización de la fórmula diferencial del número de Lefschetz y se demuestra que, aplicado al complejo de de Rham, se recupera la fórmula mencionada anteriormente. Por último se presentan los resultados básicos de grupos de Lie para aplicar los dos teoremas de Lefschetz centrales en el proyecto al demostrar que todo grupo de Lie compacto y conexo puede ser descompuesto como la unión de conjugados de un toro maximal