Ring and module theoretic properties of σ − P BW extensions (2013)
En la presente tesis estudiamos las propiedades de anillos y módulos de los anillos de polinomios no conmutativos denominados extensiones σ − P BW. Dado que estas extensiones son definidas por un anillo y un conjunto de variables con relaciones entre ellas, establecemos un criterio y algunos algoritmos para determinar cuándo un anillo junto con algunas variables puede ser expresado como una extensión σ − P BW. En otras palabras, respondemos la pregunta acerca de si un anillo tiene una base P BW en el sentido de las extensiones σ − P BW. Sumado a esto, estudiamos las propiedades de noetherianidad y regularidad, entendida esta última como dimensión homológica global finita, junto con el teorema de Serre para estas extensiones. Además, calculamos cotas superiores e inferiores para las dimensiones homológica global y de Krull, mientras que para las dimensiones de Gelfand-Kirillov y Goldie damos un valor exacto. También estudiamos la regularidad de Auslander para estas extensiones. Todos estos resultados son ilustrados con álgebras no consideradas en otros trabajos. Luego estudiamos los ideales primos de estas extensiones generalizando algunos resultados en la literatura. Al respecto, establecemos resultados sobre incomparabilidad y longitud de ideales primos. A continuación estudiamos las propiedad de catenariedad y la fórmula de Tauvel. Mostramos que varias álgebras cuánticas tienen estas propiedades. En particular, probamos la catenariedad de anillos coordenados de espacios afines cuánticos, álgebras de Weyl cuantizadas y anillos de coordenadas de grupos lineales complejos generales cuánticos. Finalmente, estudiamos la K-teoría algebraica superior para estas extensiones y calculamos los Kn-grupos de Quillen para n ≥ 0. En particular, obtenemos los grupos de Grothendieck, Bass y Milnor. Estos resultados, así como los anteriores, son ilustrados con una cantidad considerable de ejemplos destacados de extensiones σ − P BW y algunas de sus localizaciones. Estos ejemplos incluyen anillos y álgebras de la física matemática tales como extensiones P BW clásicas, anillos de grupos policíclicos finitos, álgebras de Ore, álgebras de operadores, álgebras de difusión, álgebras cuánticas, álgebras cuadráticas en tres variables, álgebras de Clifford y otras más.