On the noncommutative geometry of semi-graded rings (2022)
En esta tesis, establecemos diversas caracterizaciones topológicas del espectro no conmutativo de anillos semi-graduados al considerar la noción de topología débil de Zariski. Con este propósito, formulamos condiciones necesarias o suficientes para garantizar que familias de estos anillos definidos por endomorfismos y derivaciones sean anillos NI o anillos NJ. Presentamos resultados sobre la caracterización de diferentes tipos de elementos de anillos no conmmutativos tales como idempotentes, unidades, von Neumann regulares, π-regulares, y elementos limpios. También investigamos las nociones de anillo fuertemente armónico y de Gelfand sobre dichas familias de anillos semi-graduados. Nuestros resultados generalizan tratamientos desarrollados para anillos conmutativos, anillos de polinomios torcidos, y variadas familias de anillos N-graduados, y contribuyen a la investigación sobre estos temas que ha sido llevada a cabo parcialmente en la literatura. Por otra parte, investigamos la esquematicidad y el teorema de Serre-Artin-Zhang-Verevkin para anillos semi-graduados. Más exactamente, para los polinomios de Ore de orden superior generados por relaciones homogéneas y las extensiones torcidas de Poincaré-Birkhoff-Witt, formulamos condiciones necesarias o suficientes para garantizar la esquematicidad de estas familias de anillos. Desarrollamos una teoría de esquemas no conmutativa para anillos semi-graduados que no son necesariamente conexos y N-graduados. Con esta teoría, demostramos el teorema de Serre-Artin-Zhang-Verevkin para diversas familias de álgebras no N-graduadas que incluyen diferentes clases de anillos no conmutativos que surgen en la teoría de anillos y la geometría algebraica no conmutativa. Nuestro tratamiento contribuye a la investigación sobre este teorema desarrollada en la literatura. (Texto tomado de la fuente)