Problema de Cauchy periodico para la ecuación de Kadomtsev-Petviashvili (KP-II) en espacios de baja regularidad (2001)
En el capítulo 1 presentamos los espacios funcionales de tipo Sobolev en los cuales estudiaremos nuestro problema y desarrollamos adecuadamente la formula de Duhamel para dar una definición precisa de solución al problema (0.1-P). Para dicha definición, es necesario utilizar una propiedad de acotamiento del operador integral. Esta propiedad es también fundamental en la obtención de la solución al problema, y se presenta en el lema 1.5. Finalizamos el capítulo enunciando los teoremas de existencia y unicidad de solución para (0.1-P) (Teoremas I Y II), los cuales son el objetivo del trabajo. El capítulo 2 contiene la demostración del lema 1.5 y conforma la parte principal del trabajo. En el capítulo 3 se desarrollan dos lemas que nos permiten obtener la solución para datos iniciales de cualquier tamaño y se aplican estos lemas junto con el lema 1.5 para dar las demostraciones de los teoremas I Y II. Por simplicidad, omitiremos comúnmente la escritura de los subíndices de sumatorias y supremos y de los limites o conjuntos de integración. Siempre que esto se haga, dicho subíndices, limites y conjuntos serán en cada expresión, los mismos que aquellos en las expresiones correspondientes de las líneas precedentes. / Abstract. Chapter 1 presents the functional spaces of Sobolev type in which we study our problem and develop properly Duhamel's formula to give a precise definition of solution to the problem (0.1-P). For that definition, it is necessary to use a property of integral operator-bound. This property is also essential in obtaining the solution to the problem, and the theme is presented in 1.5. We conclude the chapter by stating the theorems of existence and uniqueness of solution for (0.1-P) (Theorems I and II), which are the focus of the work. Chapter 2 contains the proof of Lemma 1.5 and forms the main part of the job. Chapter 3 discusses two lemmas allow us to obtain the solution for initial data of any size and apply these themes together with the motto to 1.5 for the proofs of the theorems I and II. For simplicity, we usually omit writing the subscript of summations and supreme and sets limits or integration. Provided this is done, the subscripts, sets limits and be in every expression, the same as those in the corresponding expressions of the preceding lines.