Grupo de homotopia y cubiertas: una introducción a la topología algebraica (2000)
El grupo fundamental de un espacio topológico es una de las herramientas más importantes con las que cuenta un topólogo para poder distinguir espacios topológicos. El objetivo central de este trabajo es el de estudiar dicho grupo, sus propiedades y las principales técnicas que existen para calcularlo. Dedicamos nuestro primer capítulo a la definición de dicho grupo. Veremos que esta es sencilla e intuitivamente entendible. Para calcular el grupo fundamental de un espacio dado, existen diferentes técnicas. La más conocida proviene de la aplicación del Teorema de Van Kampen. Esta técnica la desarrollamos en el capítulo segundo, donde, además, mostramos abundantes ejemplos que nos enseñan en la práctica como hacer los cálculos. Otra técnica proviene de la aplicación de la teoría de Cubiertas, la cual desarrollaremos extensivamente en los capítulos 3 y 4. Sin temor a equivocarnos, podríamos decir que el estudio de las 3-variedades ha sido el principal objeto de trabajo de los topóplogos del siglo XX. Alrededor de este estudio se encuentran problemas que han permanecido abiertos por más de un siglo, como por ejemplo, la famosa conjetura de Poincaré o la clasificación de las 3-variedades. Aunque nuestro objetivo principal para estudiar la teoría de Cubiertas es el de aprender una técnica para el computo del grupo fundamental, es importante resaltar la importancia de esta teoría en otros aspectos. Por ejemplo, ella soporta la teoría de las Cubiertas Ramificadas, la cual a su vez, tiene aplicaciones en el estudio de las 3-variedades y de la teoría de Nudos. Algunos ejemplos, dados en los capítulos 3 y 4, corresponden a ejemplos de Nudos o de cubiertas ramificadas. Como la topología es ante todo una rama de la matemática de tipo visual, he considerado de gran importancia acompañar los textos con muchos dibujos cuyo objetivo es el de ayudarle a aclarar las ideas al lector. Es importante observar que estos dibujos no son pruebas de los hechos que se afirman en el texto. El lector, encontrará a lo largo de todo el recorrido muchas preguntas y/o ejercicios, que le permitirán su participación activa en la construcción de los conceptos y en la completación de detalles en las pruebas de los teoremas. Este trabajo, es el primer paso de un proyecto más amplio del profesor José María Montesinos de la Universidad Complutense de Madrid. Algunas de las partes del presente trabajo, están basadas en las notas desarrolladas por el profesor Montesinos durante sus cursos de Topología Algebraica, dados en distintas oportunidades en Madrid y en Zaragoza. Mi trabajo ha sido el de complementarlas con mis propias notas, reordenarlas y editarlas tal cual las presento en este trabajo de año sabático.