Curvas elípticas, grupos p-divisbles y modulos de Dieudonné (2019)
La tesis se concentra a desarrollar tres tópicos relacionados entre sí:Curvas Elípticas.Grupos p-divisibles.Modulos de Dieudonné. La primera parte del trabajo se concentrará en los aspectos más fundamentales de la teoríade las curvas elípticas. Se hará un énfasis particular en el hecho de que una curva elíptica esuna variedad abeliana: siEes una curva elíptica, entonces existe un punto específicoθ∈Eyaplicaciones•:E×E→E,i:E→E,que dotan aEde estructura de grupo abeliano. Aunque esta definición depende en principio de lasecuaciones que definen la curva, es posible introducir esa misma estructura de manera intrínseca.De hecho, el Teorema de Abel garantiza un isomorfismo de gruposE'Pic0(E), donde este últimogrupo denota el conjunto de divisores deEmodulo aquellos divisores efectivos.Después de discutir este punto, pasaremos al estudio de los puntos de orden finito sobreE.Para ello tomaremos un enteromarbitrario y consideramos el homomorfismo multiplicación pormm:E→E.El kernel de esta aplicación será denotado porE[m], que es precisamente el conjunto de puntosque son anulados por un múltiplo dem. El objetivo es mostrar queE[m]es un k-esquema en grupode ordenm2. Más aún, cuando se fija la secuencia de enterosp,p2,p3,..., es posible demostrar lossiguientes hechos:E[pn]es un k-esquema de grupos de rangop2n.in:E[pn]↪→E[pn+1]es una inmersión cerrada.La secuenciaE[pn]in→E[pn+1]pn→E[pn+1]es exacta.Lo anterior motiva la definición de gruposp-divisibles: decimos que la colección{Gn,in}n∈Nes ungrupop-divisible de alturahsi: :Gnes un k-esquema en grupos de rangophn.in:Gn↪→Gn+1es una inmersión cerrada.La secuenciaGnin→Gn+1pn→Gn+1es exacta. Denotamos el grupop-divisible de la curva elípticaE,E[p∞].Así que los gruposp-divisibles, por definición, son limites directos de esquemas en grupos derango finito. De aquí que en la segunda parte nos concentremos a estudiar losS-esquemas engrupos de rango finito, dondeS=SpecR.Nuestro propósito será discutir grupos con ciertas características esenciales para comprender elmaterial de los capítulos que siguen. Entre estos grupos se cuentan los grupos étales, multiplicativos,unipotentes y bi-conexos.Denotaremos porGFP/Sla categoría de losS-esquemas en grupos de rango finito, y porGFPET/,GFPM/S,GFPoo/S, las categorías de los grupos étales, multiplicativos y biconexos,respectivamente.La importancia de estas categorías se resume en el siguiente teorema:Teorema 1.2.1.Si k es un campo perfecto entonces,pGFP/k=pGFPM/k×pGFPoo/k×pGFPET/kDondepdenota el hecho de que solo consideraremos elementos que tienen rango una potenciadep.La última parte de la tesis está consagrada al estudio de los módulos de Dieudonné. Nuestramotivación es el siguiente hecho: seaEuna curva elíptica sobre un campo finito, que por simplicidadtomaremos comok=Fp. Sealun número primo diferente dep. Como veremos,E[ln]es unk-esquema de grupo Étale, y en consecuencia:E[ln]( ̄k)'(Z/lnZ)2,de donde definimos el modulo de Tate deEcon respecto al, comoTl(E) = lim←−E[ln]( ̄k).El limite se toma sobre el sistema proyectivo...→E[pn+1]( ̄k)p→E[pn]( ̄k)p→...→E[p2]p→E[p]( ̄k).Cuandol=p, puede suceder queE[ln]( ̄k) = 0, oE[ln]( ̄k) =Z/lnZ, por ende en el casol=pelmodulo de Tate deE,Tl(E), podría ser cero, lo cual no tendría ningún interés. Así que en este casoconsideramos el modulo de Dieudonné, que será un modulo construido a partir del grupop-divisibleE[p∞]. Como veremos, dicha correspondencia es funtorial, y es aquí donde la descomposición dadaen el Teorema 0.0.1 juega un papel destacado.Por último, mostraremos el siguiente teorema:Teorema 1.2.2.SeaEuna curva elíptica sobreFp, y sealun número primo. Sil6=p, seaMlelmódulo de Tate respecto a l. Sil=p, seaMpel módulo de Dieudonné que corresponde aE[p∞].Entonces#E(Fp) =det(1−Frobp),dondeFrobp:E→Ees dado porx7→xp, y1−Frobpdenota el morfismo inducido sobre Ml