Comentarios sobre el infinito matemático (1957)
“Where shall I begin, please your Majesty? Begin at the beginning”. (Lewis Carroll: Alice’a adventures in Wonderland). Toda tentativa de exponer, sin recurrir a la terminología y la notación especializadas, el tratamiento completo de los problemas matemáticos relacionados directa o indirectamente con el concepto de infinitud, sería empresa destinada, en el caso más favorable, a conseguir sólo un éxito parcial, y aun esto solamente a costa de alargar la exposición más allá de los límites de lo tolerable. Por otra parte, las ideas realmente básicas que se aplican al estudio de tales problemas son, si se examinan conngor, pocas, claras y sorprendentemente sencillas, y no es imposible hacerlas fácilmente inteligibles en lenguaje ordinario. Este es el propósito con que están escritas las páginas que siguen. Sin embargo, y aunque ello pueda parecer contradictorio, de esa misma sencillez de las nociones primarias se deriva quizá el mayor riesgo de confusión mental con que han de enfrentarse tanto el estudiante o el amateur interesado como el matemático profesional. La única ventaja en la posición de este último frente a aquel peligro es que, por la propia experiencia de los errores cometidos, conoce su naturaleza mejor que los anteriores. El lector lo evitará mucho más fácilmente y adcjuirirá al mismo tiempo la actitud mental óptima para la comprensión de lo que sigue con un mínimo esfuerzo, si desde el principio queda advertido de que la más frecuente, casi la única, causa de error en el estudio o en la investigación de la Matemática, es la introducción inconsciente por parte del estudiante, el maestro o el investigador, de hipótesis adicionales no contenidas en los postulados, las definiciones o los enunciados iniciales, a los cuales se les atribuye de este modo más alcance del que tienen en realidad. En el caso de una discusión sobre el infinito, el peligro se acrecienta considerablemente por la tendencia a identificar el infinito matemático con el infinito metafísico. Se tiende a suponer que la misma palabra, aunque empleada en la nomenclatura de ciencias diferentes, corresponde a conceptos más o menos análogos. Es preciso aclarar desde el principio, como imprescindible punto de partida para toda discusión fructífera sobre el infinito matemático, que se trata de una noción —o más bien de un grupo de nociones— sin contacto ni relación alguna con los conceptos que caracterizan las disquisiciones filosóficas sobre el infinito. Todo intento de relacionarlas, dice Borel, se reduce en último término a vano juego de palabras.