Introducción a la teoría de puntos críticos con aplicaciones a problemas elípticos semilineales (2000)
Una de las áreas de la matemática de mayor desarrollo durante los últimos años ha sido el análisis no lineal. Los trabajos de Ljusternik y Schnirelman y el famoso trabajo de Ambrossetti y Rabinowitz en el cual se demuestra el teorema del paso de la montaña han motivado e inspirado la investigación a esta área y han permitido el desarrollo de las Teorías de Mínimas y de Morse. El objetivo principal de este trabajo es presentar una subárea del análisis no lineal, llamada la Teoría de Puntos Críticos. Esta teoría identifica una clase importante de problemas no lineales que pueden ser escritos en una forma abstracta. Este trabajo esta dividido en tres capítulos. En el capítulo 1 presentamos un resultado básico de la teoría de minimización de funcionales que son coercivos y débilmente inferiormente semicontinuos y mostramos algunas aplicaciones a la existencia de soluciones débiles para ecuaciones diferenciales semilineales. En el capítulo 2 estudiamos algunos métodos de mínimax para encontrar puntos críticos de funcionales. Estos tetrodos caracterizan los valores críticos de un funcional como una mínimax sobre una clase de conjuntos adecuados. El Teorema del paso de la montaña es el primer resultado de mínimax que estudiaremos. También presentaremos un Teorema de Punto de Silla. Finalmente utilizaremos el Lema de Deformación, el teorema del paso de la montaña y el teorema de punto de silla para presentar algunas aplicaciones a la solución de problemas elípticos no lineales. En el capitulo 3 estudiaremos una técnica que permite reducir el estudio de los puntos críticos de un funcional I definido en un espacio Hilbert H al estudio de los puntos críticos de un funcional I definido en un subespacio cerrado de H, el cual es generalmente, de dimensión finita. Esta técnica, se conoce como el método de reducción, y es muy útil para demostrar existencia y multiplicidad de soluciones de problemas de Direichlet no lineales. El método de reducción tiene su origen en las investigaciones de los profesores Lazar, Landesman y Meyer.