Hacia la construcción de modelos algebraicos multiplicativos en el grado sexto (2012)
En este documento se reporta un estudio desarrollado con estudiantes de sexto grado (11-13 años) de la educación Básica Secundaria en el municipio de Jardín Antioquia. El estudio surge como una manera de atender algunas de las dificultades que se observan en la producción significativa de los “símbolos algebraicos” inmersos en algunas ecuaciones lineales; de manera particular cuando es necesario interpretar las operaciones aritméticas en los cuales puedan presentarse contextos “cotidianos”. Para todo esto se trazaron dos objetivos los cuales iban direccionados a caracterizar los contextos en los cuales los estudiantes reconocían algunas estructuras multiplicativas y analizar cómo estos estudiantes se aproximaban a la construcción de modelos desde estos contextos; abordando esta problemática desde las etapas del proceso de modelación en educación matemática escolar, puesto que involucra relaciones entre las matemáticas y contextos cotidianos, escolares y de otras ciencias (Villa-Ochoa, 2010). La metodología utilizada fue un estudio de casos descriptivo la cual fue abordada mediante una entrevista semiestructurada que permitió caracterizar los grupos de trabajo resultante de acuerdo a las situaciones multiplicativas planteadas en contexto. Se implementaron algunas tareas tendientes a que los estudiantes crearan sus propias situaciones en contextos multiplicativos, así como entrevistas, en diferentes fases; permitiendo esto reconocer en los fenómenos de variación un espacio propicio para que las “letras” (símbolos algebraicos) emergieran como variables y las expresiones producidas pudieran tener un significado funcional. Los resultados de este estudio muestra que los estudiantes hacen un excesivo uso de problemas de palabras estereotipados (realidades inventadas, caducadas, falseadas, etc., Alsina, 2007) como una manera de ejemplificar los usos cotidianos de las operaciones. Con base en estos resultados se realiza un trabajo con los estudiantes que permitiese la identificación de cantidades de magnitud propias de la cultura del estudiante (problemas de consumo, almacenes, transportes, etc.) y a través del estudio del comportamiento de tales cantidades, los estudiantes consiguieron identificar variables e invariantes con los cuales hicieron “proposiciones generales” incursionando en un razonamiento algebraico (Blanton y Kaput, 2011). Durante este proceso de razonamiento, se muestra que los estudiantes fueron construyendo representaciones icónicas, verbales y diagramas, como una manera de representar las relaciones entre cantidades. Además, con las discusiones que surgían entre el colectivo conformado por estudiantes y profesor, se fueron produciendo nuevas representaciones matemáticas de manera más refinadas. Uno de los aportes más significativos que se presentan en el presente estudio radica en la manera no lineal en que las expresiones algebraicas (lineales) fueron surgiendo como una manera de representar algunos aspectos de sus contextos. Al observar cada una de las producciones de los estudiantes y la manera en que las representaciones se iban refinando, se puede ver la modelación como un proceso de transición, no rígida ni lineal, desde unos modelos matemáticos iniciales hacia modelos matemáticos algebraicos los cuales son, convencionalmente, más aceptados. Se pudo evidenciar de igual manera que tanto los modelos matemáticos iniciales como los algebraicos podrían dar cuenta de algunas de las necesidades que prorrumpían de la situación; pero, que en la medida en que se profundizaba en la comprensión del fenómeno de variación, los modelos algebraicos iban adquiriendo mayor significado. Finalmente se determinaron una serie de recomendaciones que emergieron para posibles estudios posteriores, esto en cuanto a diferentes posibilidades que se dan en el estudio y que por no ser objeto de éste, no pudieron ser abordados con la suficiente amplitud; dentro de estas recomendaciones cabe destacar la necesidad de diseñar, crear y/o adaptar situaciones enmarcadas dentro del contexto propio de los estudiantes para su posterior implementación en el aula de clase y que cuando sea necesario ejemplificar dichas situaciones se hagan desde la literatura especializada, así mismo, se pone en evidencia la necesidad de aminorar inconvenientes a la hora de implementar un proceso de modelación y se recomienda la creación de posibilidades yespacios suficientes para que los maestros de matemáticas de todos los niveles, se apropien de lo necesario al respecto./Abstract.In this document it is reported a study develop with sixth grade students (11-13 years old) from Middle School education in Jardin-Antioquia. The study comes as a way to address some of the difficulties seeing in significant production of "algebraic symbols" embedded in some linear equations, in particular when it is necessary to interpret the arithmetic operations in which "everyday" contexts may be showed.For all of this, two objectives were outlined which were addressed to characterize the contexts in which students recognize some multiplicative structures and analyze how these students approached the construction of models from these contexts, addressing this problematic since the early stages of the modeling process in mathematics education, as it involves relations between mathematics and everyday contexts, scholar and the other sciences (Villa-Ochoa, 2010). The methodology used was a study of descriptive cases which was addressed through a semi structured interview that allowed the characterization the resulting working groups according to the multiplicative situations raised in context. Some tasks were implemented aimed at students create their own situations in multiplicative contexts, so as interviews, in different phases, allowing this to recognize in the phenomena of variation a space according for "letters" (algebraic symbols) emerged as variables and the expressions produced may have functional meaning. The results of this study show that students make a repeated use of stereotyped word-problems (realities invented, outdated, misguided, etc., Alsina, 2007) as a way to illustrate the everyday uses of operations. Based on these results it does work with students to allow the identification of quantities of magnitude characteristic of the student's culture (consumerism, stores, transportation, etc.) And through the study of the behavior of these quantities, the students identified variables and invariants which done "general propositions" dabbling in algebraic reasoning (Blanton and Kaput, 2011). During this process of reasoning, it will show that the students were constructing iconic representations, verbal and diagrams as a way to represent relationships between quantities. Furthermore, with the discussions that arose between the group formed by students and teacher, new mathematical representations were producing in a refined way. One of the most significant contributions presented in this study lies in the way, not linear, where the algebraic expressions (linear) were emerging as a way of representing some aspects of their contexts. Looking at each of the students productions and the way in which the representations were being refined, it can be seen modeling as a process of transition, neither rigid or linear, from initial mathematical models to algebraic mathematical models which are conventionally more acceptable. It was evident in the same way that both the initial mathematical models as algebraic could explain some of the needs of the situation broke forth, but to the extent that deepened understanding of the phenomenon of variation, algebraic models gained greater meaning. Finally, a number of recommendations that emerged for possible future studies were identified this in terms of different possibilities that exist in the study how they not being subject to it, could not be addressed with enough amplitude. Within these recommendations include the need to design, create and / or adapt situations framed in the students context to own their subsequent implementation in the classroom and, where necessary, illustrate these situations are made from the literature and same, it high lights the need to minimize problems when implementing a process of modeling and recommends the creation of possibilities and enough space for mathematics teachers at all levels, to appropriate the necessary at respect. Key words: Algebraic language, Verbal language, Algebra, Equations, mathematical modeling, Models, Multiplicative Structures, Education.