Levantamiento de idempotentes y transformaciones lineales clean (2020)
Los idempotentes de un anillo R pueden ser levantados módulo un ideal L si, dado x 2 R con x x2 2 L, existe un idempotente e 2 R tal que e x 2 L. Uno de los resultados clásicos en el levantamiento de idempotentes es que si todos los elementos del ideal son nilpotentes, entonces los idempotentes pueden ser levantados. Nicholson en 1 llama a un anillo adecuado si, y solo si, los idempotentes pueden ser levantados módulo cada ideal. En este trabajo se estudiarán anillos en los cuales los idempotentes puedan ser levantados y mostraremos que un anillo adecuado levanta idempotentes ortogonales. Un anillo R es clean si cada elemento es la suma de una unidad y un idempotente. Mostraremos que todo anillo clean levanta idempotentes y, si R tiene tiene idempotentes centrales, R levanta idempotentes si, y solo si, es clean. Por otro lado, dado un espacio vectorial V sobre un anillo de división D de dimensión enumerable, denotamos por end(VD) el anillo de endomorfismos de VD. Mostraremos que el operador shift es clean, y que si un operador restricto a un subespacio invariante de VD es clean, entonces el operador es clean. Teniendo en cuenta estos resultados se demostrará que el anillo end(VD) es clean. Finalmente, Camillo y Khurana 2 probaron que todo anillo unit-regular es clean, utilizando los resultados obtenidos en el trabajo mostraremos que la recíproca no es verdadera.