Sobre el conjunto focal en la geometría diferencial afín (2020)
En este trabajo estudiamos el conjunto focal desde el espacio afín, para superficies inmersas en el 3-espacio. Inicialmente, consideramos todo el estudio de curvas bajo la acción del grupo afín, longitud de arco afín, curvatura afín y evoluta, esta última nos da una idea de lo que puede ser el conjunto focal afín en superficies. Para nuestro estudio, en el espacio euclidiano, el grupo de isometrı́as preserva distancias y las métricas se mantienen, por el contrario, en un espacio afín no tenemos una invarianza de distancia, por consiguiente, pensamos en una métrica que preserve el volumen que análogamente en la longitud de arco afín, preserva el área. En ese orden, definimos la primera forma fundamental afín y la tercera forma fundamental afín, donde introducimos las definiciones mas relevantes (el operador de forma afín, curvaturas y direcciones principales afı́nes) sin usar coordenadas locales, pues el contenido geométrico de estas es claro, sin embargo, para propósitos tanto computacionales como teóricos, nos es importante expresar estos conceptos en coordenadas locales, y de esta manera desarrollar los ejemplos. Finalmente, llegamos a definir y analizar el conjunto focal afín, como se describe en su ecuación, que en cuyo caso resulta degenerar a curvas, puntos, o a superficies que pueden ser o no singulares, y en consecuencia, de ser estudiado el conjunto singular, este resulta coincidir con el Ridge. Dentro del trabajo, desarrollamos unos ejemplos para el caso euclidiano, pues, es de suma importancia abordar nuestra teoría ya conocida en el curso de geometría de superficies, dado que, nos brinda unas nociones para entender y adaptar conceptualmente el significado geométrico a un espacio afín. Para abordar la teoría, hacemos uso del Software Maple, en el cual trabajamos todo el cálculo en coordenadas locales y presentamos los gráficos asociados a los ejemplos.