Cálculo en la estructura de bandas de cristales fotónicos (2014)
En este trabajo se hace una breve revisión de la teoría que sustenta la aparición de bandas prohibidas de frecuencia en los denominados cristales fotónicos, así como, el cálculo del diagrama de bandas de algunas estructuras puramente teóricas que pueden tener o no afinidad con estructuras que se pueden llevar a cabo en un laboratorio. En primer lugar, se revisa la teoría que justifica la definición de la permitividad eléctrica sobre un medio material bajo ciertas consideraciones o aproximaciones. Los puntos de partida son, por supuesto, las ecuaciones de Maxwell, puesto que la variación periódica de la permitividad eléctrica es la principal responsable de la aparición de bandas prohibidas, es necesario revisar desde estas ecuaciones como se pueden caracterizar los campos en un medio. En segundo lugar, se revisa un conjunto de métodos analíticos que permiten reducir el problema de encontrar las frecuencias y los campos que se pueden propagar por estas estructuras; dichos métodos si bien no son formalmente desarrollados muestran cómo se puede reducir la complejidad del problema mediante el uso de simetrías y el uso del teorema de Bloch. Por último, empleando las herramientas revisadas, se obtiene la ecuación maestra que describe como se propaga el campo electromagnético en estas estructuras, así como, las frecuencias que satisfacen esta ecuación; se hace hincapié en formular esta ecuación como un problema de valores y vectores propios, lo que conlleva a solucionar un conjunto finito de ecuaciones algebraicas de primer grado con la principal dificultad de hallar la representación de una función del tipo 1/ f(r) en una base del espacio de funciones asociada con la serie de Fourier. Se muestra en que consiste un diagrama de bandas, como se puede construir y que información relevante se puede extraer de este. Se resuelve mediante métodos usuales la ecuación maestra para estructuras unidimensionales y se muestran un par de ejemplos. Se resuelve la ecuación maestra para estructuras en dos y tres dimensiones mediante el uso del software desarrollado en el MIT llamado MIT Photonic Bands mediante el cual se soluciona numéricamente la ecuación maestra y se pueden obtener los datos para graficar el diagrama de bandas y la distribución de los campos en una, dos y tres dimensiones.