Estabilidad local para el modelo discreto Lotka-Volterra con competencia intraespecie (2015)
Este trabajo de grado tipo monografía se desarrollará con base al artículo DYNAMICS OF A DISCRETE LOTKA-VOLTERRA MODEL escrito por Qamar Din publicado en la Revista SpringerOpen con doi:10.1186/1687-1847-2013-95, en el que se estudia la estabilidad de un sistema discreto de Lotka-Volterra con competencia intraespecie. Al conjunto de ecuaciones, que describe la lucha constante por la supervivencia, entre dos especies que viven en un mismo hábitat, siendo una de ellas el alimento de la otra, se le conoce como modelo Lotka-Volterra o presa-depredador. Este modelo o sistema dinámico, se hace con el objetivo de representar matemáticamente interacciones entre dos o más especies y cada alteración al modelo provee más herramientas para entender y analizar esta dinámica. El modelo propuesto por Lotka y Volterra solo tenía en cuenta las especies, con el fin de mejorar, se comenzó a hablar de la tasa de natalidad, tasa de mortalidad, nivel de saturación y otros parámetros para que al representar dichas situaciones fuesen lo más real posible; como por ejemplo el modelo presa-depredador con competencia intraespecie en el cual existe un término logístico respecto a los miembros de la misma población. En este trabajo se irá desarrollando el modelo conforme se desarrolla la teoría. En el capítulo 1 se explica y analiza el modelo original [1, 7, 8]. También se analiza el modelo con competencia intraespecie [1] después se linealiza el modelo [4] y luego con el análisis de los autovalores se determina si los puntos de equilibrio pueden ser o no estables [5] Al finalizar el capítulo se explica el método de Euler [9] que se utilizará para luego discretizar el modelo Lotka-Volterra con competencia intraespecie obteniendo las ecuaciones en diferencias racionales [10]. En el capítulo 2 se introducirán conceptos y teoremas necesarios para desarrollar la teoría de ecuaciones en diferencias [2, 3]. Después se linealiza, obtienen y analizan los puntos fijos del modelo de Lotka-Volterra discreto con competencia intraespecie. En el capítulo 3 utilizando Geogebra se harán algunas simulaciones numéricas [11]; y se visualiza el comportamiento de los puntos de equilibrio por medio de Pplane para java [6].