Energía e índices topológicos VDB en grafos y digrafos (2024)
En este trabajo estudiamos aspectos esenciales en la teoría de grafos y digrafos, como lo son la energía y los índices topológicos VDB. En el primer capítulo proporcionamos bases necesarias para la comprensión de los capítulos posteriores. Revisamos resultados clásicos como el principio de Rayleigh-Ritz, la descomposición en valores singulares de una matriz y la teoría de Perron-Frobenius. Se define también la noción de grafos y digrafos, y mostramos algunos ejemplos que serán especialmente útiles. En el segundo capítulo analizamos la variación que se produce en la energía de un grafo al eliminar un vértice. Esto permite definir la energía local de un grafo en un vértice, lo cual nos da una medida de la contribución del vértice a la energía del grafo. En el tercer capítulo generalizamos estas ideas para permitir la eliminación de varios vértices en el grafo. El caso en el que se eliminan dos vértices es especialmente útil, ya que permite generalizar la noción de energía local de un vértice en digrafos. En el cuarto capítulo caracterizamos los digrafos que tienen un único valor singular diferente de cero y también aquellos digrafos que poseen todos sus valores singulares iguales. Como consecuencia, deducimos cotas superiores e inferiores para la norma espectral y la energía de digrafos. Además de ser una generalización natural, demostrar los resultados en el contexto general de digrafos nos permite deducir nuevos resultados sobre la energía de grafos. En el quinto capítulo presentamos un nuevo enfoque que fundamenta el concepto de índice topológico VDB en el espacio de matrices reales, en lugar del espacio de funciones reales de dos variables. En el sexto capítulo resolvemos el problema de valores extremos para el índice de Sombor elíptico sobre el conjunto de grafos químicos y sobre el conjunto de árboles químicos, con un número fijo de vértices. Finalmente, en el séptimo capítulo estudiamos índices función vértice-grado a través de operaciones de ramificación sobre varios conjuntos de árboles, encontrando valores extremos en cada uno de estos conjuntos.