Una introducción al estudio de los grupos de Lie (2023)
RESUMEN: Una de las teorías más relevantes en matemáticas es la teoría de grupos. Para comprender sus propiedades, estructuras y consecuencias, resulta útil estudiar los casos más simples, especialmente los grupos finitos, como los grupos de permutaciones y transformaciones. Estos últimos tienen un gran impacto en áreas posteriores, como la teoría de representaciones de grupos, que a su vez tiene amplias implicaciones en diversos campos, como el estudio de soluciones de ecuaciones algebraicas. Esto se evidencia en las soluciones de Galois y en la teoría que lleva su nombre. Debido a la complejidad de clasificar y comprender las propiedades de los grupos, es indispensable abordar los desafíos mediante nuevas técnicas y niveles de abstracción para ´ comprender su comportamiento. Un enfoque para lograr esto es estudiarlos utilizando el “calculo”, es decir, dotándolos de la estructura de variedades. Precisamente, un grupo de ´ Lie se refiere a una variedad suave que posee una estructura de grupo compatible con su estructura analítica. Este nombre honra al matemático noruego Sophus Lie, quien fue ´ el pionero en desarrollar la idea alrededor de 1874. Lie propuso crear una teoría para las representaciones de grupos en este nuevo contexto analítico, con el fin de simplificar problemas de ecuaciones diferenciales parciales y geometría, de manera similar a lo que Galois hizo con el estudio de las representaciones de ciertos grupos finitos para las ecuaciones algebraicas.