Espacios clasificantes para conmutatividad, K-teoría conmutativa y K-teoría equivariante torcida. (2017)
La K-teoría de un espacio topológico es un invariante más fino que la cohomología singular. Cuando el espacio es compacto la K-teoría se puede definir por clases de equivalencia de fibrados vectoriales complejos, y es por lo tanto un invariante muy afín a la geometría y a la física teórica. Tan es así que el muy celebrado Teorema del Índice de Atiyah-Singer, el cual relaciona invariantes topológicos y analíticos en variedades, es precisamente descrito en su forma más general como una igualdad de clases en los grupos de K-teoría. Cuando el espacio tiene simetrías que pueden ser descritas por medio de un grupo de Lie, el invariante descrito por la K-teoría puede ser mejorado sustancialmente añadiéndole información sobre las representaciones del grupo a los espacios vectoriales y definiendo así un invariante denominado K-teoría equivariante. Con la necesidad de entender la teoría dual a la K-teoría, y además por la presencia de B-fields en la teoría de cuerdas, se desarrolló lo que se denomina la K-teoría equivariante torcida. Este es un invariante que está asociado al espacio con simetrías, pero que a su vez tiene un anclaje a un espacio que clasifica ciertos automorfismos del espectro de K-teoría y es por esto que se puede ver como un grupo de cohomología equivariante parametrizado. El presente proyecto se enmarca en el contexto de la K-teoría equivariante torcida. Se enfoca en el estudio de la K-teoría conmutativa, en el cálculo de la K-teoría conmutativa de las esferas, en el desarrollo e implementación de herramientas que permitan calcular explícitamente los grupos de K-teoría torcida equivariante, y en la exploración del concepto de equivalencia categórica de Morita en el contexto de la K-teoría equivariante torcida para grupos de Lie.