Combinatoria y Nudos. (2007)
Es el estudio de 3-variedades y de nudos. Como objetivos específicos se quiere, de un lado, producir algoritmos para triangular 3-variedades y, del otro lado, entender matemáticamente la codificación de los nudos, que se emplea en la creación de esta clase de algoritmos, con el fin de producir algoritmos más ágiles. Uno de los problemas más importantes en la topología de dimensión baja, es el problema de la clasificación de las 3-variedades. Los trabajos de Alexander (a comienzos del siglo XX) hicieron explícita la relación entre los nudos y las 3-variedades. Un nudo es una inyección diferenciable de un círculo (1-esfera) en una esfera de 3 dimensiones (3-esfera). En un principio se trabajó mucho con las herramientas de la Topología Combinatoria, pero los cálculos a mano, usando estas herramientas, se vuelven rápidamente impracticables y se hace necesaria la ayuda del computador. Recientemente, J. H. Rubinstein [Ru2] y A. Thompson ([Tho1], [Tho2], [Tho3]) encuentran algoritmos combinatorios (basados en otros de W. Haken [Ha1]) para reconocer cuando una 3-variedad compacta y cerrada es una 3-esfera. Estos algoritmos, dicen ellos, se podrían implementar en un computador ¿hipotético¿ ¿ o máquina de Turing. Por otro lado, I. Izmestiev y M. Joswig [IzJo] prueban que para cualquier 3-variedad cerrada y orientable existe una triangulación de la 3-esfera que permite reconstruir la 3-variedad. En este proyecto nos proponemos crear algoritmos que permitan la construcción explícita de dichas triangulaciones a partir del diagrama de un nudo. Esto daría esperanzas de poder implementar en un computador real, en un futuro no muy lejano, los algoritmos de Haken, Rubinstein y Thompson. Lo anterior constituye el marco teórico y el estado del arte del primer problema que queremos estudiar en este proyecto. Por otro lado, durante la realización de otros proyectos de COLCIENCIAS, la investigadora M. Toro ha ido creando software que ha permitido efectuar diferentes clases de cómputos que involucran nudos. Para ellos se diseñó una codificación propia de nudos. Dado que nuestra codificación resultó efectiva, pero susceptible de mejorar, hemos decidido estudiarla en detalle como objeto matemático, que llamamos nudo combinatorio y que describimos a continuación. Este estudio tiene dos fines, uno teórico, que es entender este nuevo objeto matemático y, otro práctico, que es producir algoritmos más eficientes utilizables en la Teoría de Nudos. Un nudo puede ser representado gráficamente usando su proyección regular sobre un plano, ver [Ro]. Nuestra codificación, o nudo combinatorio, representa un diagrama de un nudo por medio de una lista de dos listas, que son manejadas por el software Mathematica. A partir de esta codificación de un diagrama de un nudo N, hacemos entonces una definición formal de nudo combinatorio, la cual queda desprovista de contenido geométrico y nos obliga a plantear muchas preguntas, como por ejemplo: ¿Es el nudo combinatorio único?, es decir, dado un nudo ¿existe un único nudo combinatorio que lo represente?, ¿existirá un nudo K inmerso en la 3-esfera, cuya codificación sea exactamente una dada?, ¿para todo nudo combinatorio, existirá una 2-variedad ¿engrosada¿ que lo contenga?, ¿existe un algoritmo para reconocer si un nudo combinatorio es un nudo geométrico o admisible?, ¿Si un nudo combinatorio es geométrico, el nudo que representa es único? Estas preguntas y las respuestas que conocemos de algunas de ellas constituyen el marco teórico y el estado del arte del segundo problema que se quiere trabajar en este proyecto.