Estudio de las propiedades topólogicas del Conjunto de Mandelbrot (2023)
El presente trabajo de investigación estudia el comportamiento de sistemas dinámicos discretos en variable compleja, especialmente funciones racionales de segundo grado. A partir de la aplicación de las técnicas empleadas a los sistemas dinámicos se definen formalmente los conjuntos de Julia, Fatou y el famoso conjunto de Mandelbrot; sin duda uno de los objetos matemáticos mas bellos y el cual ejemplifica claramente la naturaleza fractal de este tipo de conjuntos. Para el desarrollo de este proyecto se emplearon técnicas de la teoría de los sistemas dinámicos y algunos teoremas del análisis complejo que junto con la topología permiten describir las propiedades de dichos conjuntos tales como su conexidad. Los principales resultados obtenidos de esta investigación fueron: Descripción formal de algunas de las propiedades topológicas de los conjuntos de Julia y el conjunto de Mandelbrot; a partir de la prueba de que este tipo de sistemas dinámicos son acotados, se logra demostrar y deducir el teorema del radio límite que permite la descripción del algoritmo para la representación gráfica de estos conjuntos en el plano complejo conocido como el algoritmo de tiempo de escape. Se demuestra también que los conjuntos de Julia son completamente invariantes y así proponer un algoritmo para la representación de los conjuntos de Julia conocido en la literatura como el algoritmo de iteración inversa. Finalmente, mediante la aplicación del concepto de conjugado topológico se logra definir formalmente el conjunto de Mandelbrot y su relación con los conjuntos de Julia, se logra mostrar la relación que existe entre el conjunto de Mandelbrot y los conjuntos conexos de Julia. Se finaliza el estudio mencionando un resultado muy importante de la teoría como lo es la conexidad del conjunto de Mandelbrot y la diferencia con el concepto de conexidad local, lo que actualmente es un problema abierto dentro del campo de la dinámica holomorfa conocido como la conjetura MLC.