Acople de elementos finitos y elementos de frontera para modelos de corriente inducida: aplicación a E/MEG y a problemas con conductores ferromagnéticos. (2018)
La modelación de los fenómenos electromagnéticos y sus potenciales aplicaciones constituyen hoy en día una de las ramas de investigación más relevantes de la matemática aplicada y la ingeniería. En particular, el uso de modelos simplificados del sistema completo de ecuaciones de Maxwell, tales como el modelo de corriente inducida (eddy current model), obtenido al omitir la corriente de desplazamiento de la ley de Ampère-Maxwell, ha alcanzado un importante desarrollo en los últimos años, tanto por la variedad de sus aplicaciones prácticas (por ejemplo, en el diseño de transformadores eléctricos), como por el interés teórico que suscita debido a que su estructura permite el desarrollo de técnicas que para el sistema completo de Maxwell aún no están disponibles. El objeto central de este proyecto es desarrollar, analizar e implementar métodos numéricos basados en en el acople del método de elementos finitos (FEM) y el método de elementos de frontera (BEM), en la simulación de los campos electromagnéticos para el modelo de corriente inducida, explorando su aplicación a problemas de Electroencefalografía (EEG) y Magnetoencefalografía (MEG) (llamadas colectivamente E/MEG) y a problemas que involucran conductores ferromagnéticos. Analizaremos dos tipos de formulaciones del problema de corriente inducida. Una primera formulación basada en funciones potenciales ([14, 15, 4, 7, 1]) y otra cuya variable principal es el campo eléctrico ([23, 3, 31, 32, 2]). Inicialmente se obtendrán las formulaciones variacionales para estos problemas considerando la acción de operadores integrales e incorporando las características propias de las aplicaciones consideradas. En los problemas de E/MEG es necesario considerar modelos conocidos de actividad eléctrica cerebral y modelos realistas de la cabeza humana, mientras que en el caso de los problemas con conductores ferromagnéticos debe considerarse la dependencia no lineal de la inducción magnética respecto al campo magnético. En ambos casos se analizaran condiciones necesarias y suficientes para que los problemas obtenidos (continuos y discretos) tengan solución única que dependa continuamente de los datos; condiciones suficientes para que los esquemas discretos correspondientes resulten convergentes y además, se obtendrán simulaciones numéricas que verifiquen esta convergencia. Los resultados obtenidos se presentarán en cinco tesis de maestría elaboradas por los investigadores auxiliares del proyecto, con un registro de software y en artículos para publicación en revistas indexadas nacionales e internacionales.