Optimización global de problemas variacionales. (2005)
El cálculo de variaciones es la rama de la física matemática que representa el comportamiento de sistemas físicos mediante un problema de optimización definido en un conjunto de funciones admisibles. El cálculo de variaciones tiene implicaciones en mecánica clásica, termodinámica, electromagnetismo, mecánica cuántica, teoría de la elasticidad y otras áreas de estudio en física teórica. Desde sus inicios, el cálculo de variaciones se replanteo a través de las ecuaciones de Euler-Lagrange como un problema de ecuaciones diferenciales bajo condiciones iniciales o bajo condiciones de contorno. Este planteamiento permite aplicar diferentes técnicas de análisis numérico para atacar las ecuaciones de Euler-Lagrange que representan a un problema variacional específico que soporta un modelo particular en física teórica. Esencialmente cada problema variacional es un problema de optimización y como tal le aplica la teoría esencial de la optimización matemática. Desde esta perspectiva las ecuaciones de Euler Lagrange presuponen que el problema variacional tiene una estructura convexa en sus parámetros. Sin embargo esta situación no es válida en situaciones físicas donde el modelo no admite una geometría convexa. Esta situación es particularmente notoria en ciencia de materiales cuando debemos estudiar la respuesta de un cuerpo, sometido a tensiones que superan su comportamiento lineal. En estas condiciones donde los parámetros del modelo físico no tienen una geometría convexa, la teoría de optimización nos dice que las ecuaciones de Euler-Lagrange del problema no proporcionarán una solución válida del problema variacional. En estas condiciones debemos enfocar el problema desde una perspectiva de optimización y dejar de lado el análisis de sus ecuaciones de Euler-Lagrange las cuales no necesariamente llevarán a una solución satisfactoria. El camino alternativo consiste en proponer una relajación del problema variacional no convexo, la cual se logra combinando efectivamente la teoría de la medida y el análisis convexo, para después hacer un tratamiento del problema de optimización resultante con herramientas de optimización global y optimización numérica. La ventaja de este enfoque radica en que el problema resultante, al cual llamamos relajación, tiene estructura convexa debido a la forma apropiada en que se combinan métodos de análisis convexo y teoría de la medida. Esta metodología en su conjunto se denomina optimización global porque contempla superar las dificultades analíticas y numéricas que supone enfrentarse a un problema particular de optimización, cuando éste carece de convexidad en algunos de sus parámetros. En el presente proyecto abordaremos el análisis y el cálculo de problemas variacionales que surgen como modelos macroscópicos (balances de energía), los cuales permiten determinar la estructura cristalina de cuerpos sometidos a cargas que superan el límite elástico del material que los constituye. Para ello emplearemos las técnicas básicas de optimización global: relajación y tratamiento numérico del problema resultante. Este procedimiento requiere técnicas de computación muy exigentes que deben estar completamente actualizadas tanto en equipos de cómputo, como en algoritmos especializados en optimización no lineal para problemas en altas dimensiones -más de cinco mil variables.